Binary Image Processing (Geometric Information)

#

Geometric Information

바이너리 이미지에서 추출할 수 있는 첫 번째 주요 정보는 객체에 대한 geometric 정보이다. 본 문서는 바이너리 이미지에서 추출할 수 있는 geometric 정보에 대해 다룬다.

Geometric Information of Binary Images

바이너리 이미지로 얻을 수 있는 이미지의 특징 중 하나는 이미지 내의 객체에 대한 geomatric 정보이다. 여기서, 객체의 geometric 정보란 다음과 같은 정보들을 말한다.

• 이미지 내에서 객체의 넓이(area)
• 이미지 내에서 객체의 위치 좌표(coordinates)
• 이미지 내에서 객체의 방향(direction)

이미지를 binarization할 수 있다면, 위와 같은 이미지의 geometric 특징을 추출할 수 있다.

Area of Objects

Gray-scale 이미지 $g$에 대해 추출한 바이너리 이미지를 $b$라고 할때, 이미지 속 객체의 넓이(area) $A$는 다음과 같이 계산할 수 있다.

$$
A = \int \int b(x, y) dx dy
$$

이때, $b(x, y)$는 $(x, y)$좌표에서의 픽셀의 바이너리 값으로 객체에 해당하는 픽셀만 1, 나머지 영역은 0이 된다.

하지만, 이미지 픽셀 사이의 공간은 discrete 이므로, 다음과 같이 객체의 넓이를 계산해야 한다.

$$
A = \sum_{x} \sum_{y} b(x, y)
$$

객체의 넓이는 이미지 내에서 객체가 움직이던, 회전하던 변하지 않는 특징이 될 수 있다(3차원적으로 회전하는 것 제외). 그러나, 이미지 내에 객체가 여러개인 경우, classification(or segmentation)을 먼저 수행할 필요가 있다.

참고로, 바이너리 이미지에서 객체의 넓이는 zero moment에 해당한다.

Position of Objects

바이너리 이미지 $b$에서, 객체에 해당하는 픽셀이 모두 1이고, 배경에 해당하는 픽셀이 모두 0일때, 객체의 중심 좌표는 다음과 같이 계산한다.

$$
\bar{x} = \frac{1}{A} \int \int x b(x, y) dx dy \
\bar{y} = \frac{1}{A} \int \int y b(x, y) dx dy
$$

이때, $A$는 객체의 넓이로, 바이너리 이미지에서 객체에 해당하는 픽셀의 개수이다.

역시, 픽셀공간이 discrete이기 때문에 다음과 같이 객체의 위치를 계산해야 한다.

$$
\bar{x} = \frac{1}{A} \sum_x \sum_y x b(x, y) \
\bar{y} = \frac{1}{A} \sum_x \sum_y y b(x, y)
$$

객체의 위치는 first moment에 해당한다.

Direction of Objects

객체의 방향이란, 객체의 모양에서 가장 긴 축을 말한다. 예를들어, 다음 항아리 모양의 객체에서 객체의 방향은 그림의 축과 같다.

바이너리 이미지에서 객체의 방향을 구하는 아이디어는 “2nd central moment가 가장 작은 축”을 구하는 것이다.

2nd central moment란, 어떤 축이 있을 때, 해당 축과 각 픽셀과의 거리의 제곱합을 의미하며, $(x, y)$좌표에 있는 점과 축과의 거리를 $r_{x, y}$라고 했을 때, 다음과 같이 정의된다.

$$
E = \int \int r_{x,y}^2 b(x, y) dx dy
$$

다음과 같은 두 개의 축을 생각해보자.

왼쪽 그림에서는 객체의 모든 픽셀이 축과의 거리가 다 가까우므로 $E$ 값이 작다. 반면, 오른쪽 그림에서는 객체의 일부 픽셀이 축과의 거리가 상당히 먼 경우가 많기 때문에, $E$값이 커지게 된다. 즉, $E$값이 최소가 되는 축을 찾으면 객체의 방향 축을 찾을 수 있게 된다(PCA가 생각나는데?).

우리가 어떤 직선을 정의할때 보통 다음과 같이 직선의 방정식을 이용하게 된다.

$$
y = mx + b
$$

그러나, 이런 형태의 식에서는 $m$의 범위가 $-\infty$에서 $\infty$가 되기 때문에, 최적화가 좀 어렵다. 따라서, 위와 같은 직선의 방정식 말고 직선의 각도와 원점과의 거리를 이용하여 직선을 reparameterization하여 다음과 같이 정의한다.

$$
x \sin \theta - y \cos \theta + \rho = 0
$$

이때, $\theta$는 해당 직선과 $x$축 사이의 각도이며, $\rho$는 직선과 원점(0, 0) 사이의 거리이다.

이 직선과 $(x, y)$ 좌표의 픽셀 까지의 거리 $r_{x, y}$는 다음과 같다.

$$
r_{x, y} = \frac{|x \sin \theta - y \cos \theta + \rho|}{\sqrt{\sin^2 \theta + \cos^2 \theta}} = |x \sin \theta - y \cos \theta + \rho|
$$

이에 따라, 2nd central moment $E$는 다음과 같이 변형될 수 있다.

$$
E = \int \int |x \sin \theta - y \cos \theta + \rho|^2 b(x, y) dx dy
$$

우리가 원하는 것은 이 $E$를 최소화하는 축을 찾는 것이므로, $E$를 최소화하는 $\theta$와 $\rho$를 찾는 것이 우리가 계산해야 할 것이다.

위 $E$를 $\rho$에 대해 미분하여 0이 되는 “극점”을 찾아보자.

$$
\frac{d}{d\rho} E = \int \int 2 |x \sin \theta - y \cos \theta + \rho| b(x, y) dx dy = 0 \
= 2 (A \bar{x} \sin \theta - A \bar{y} \cos \theta + A \rho) = 0 \
2A (\bar{x} \sin \theta - \bar{y} \cos \theta + \rho) = 0
$$

이때, $A$는 객체의 넓이이고, $\bar{x}, \bar{y}$는 객체의 중심점 좌표이다. 객체의 넓이는 0이 아니므로, 직선 $x \sin \theta - y \cos \theta + \rho = 0$ 이 객체의 방향 축이 되려면 다음을 만족해야 한다.

$$
\bar{x} \sin \theta - \bar{y} \cos \theta + \rho = 0
$$

즉, 직선 $x \sin \theta - y \cos \theta + \rho = 0$는 객체의 중심 $(\bar{x}, \bar{y})$를 지나는 직선이어야 한다. 이것을 반영하여 직선을 다음과 같이 수정하자.

$$
(x - \bar{x}) \sin \theta - (y - \bar{y}) \cos \theta = 0
$$

이때, $E$를 다시 적어보면 다음과 같다.

$$
E = \int \int \vert x \sin \theta - y \cos \theta + \rho \vert^2 b(x, y) dx dy
$$

$$
= \int \int \vert(x - \bar{x}) \sin \theta - (y - \bar{y}) \cos \theta \vert^2 b(x, y) dx dy
$$

$$
= \int \int ((x - \bar{x})^2 \sin^2 \theta + (y - \bar{y})^2 \cos^2 \theta - 2(x - \bar{x})(y - \bar{y})\sin \theta \cos \theta) b(x, y) dx dy
$$

$$
= \sin^2 \theta \int (x - \bar{x})^2 dx+ \cos^2 \theta \int (y - \bar{y})^2 dy- 2 \sin \theta \cos \theta \int \int (x - \bar{x})(y - \bar{y}) dx dy
$$

이때, $\bar{x}, \bar{y}$는 쉽게 구할 수 있으므로, 맨 마지막 식의 integral은 간단하게(?) 계산이 가능하다. $E$식을 좀 간단하게 적기 위해 다음을 정의하자.

$$
a := \int (x - \bar{x})^2 dx \
b := \int (y - \bar{y})^2 dy \
c := \int \int (x - \bar{x})(y - \bar{y}) dx dy
$$

이때, $E$는 다음과 같이 변형할 수 있다.

$$
E = a \sin^2 \theta + b \cos^2 \theta - 2c \sin \theta \cos \theta
$$

이제, 이 식을 다시 $\theta$에 대해 미분하여 0이 되는 지점을 찾아 $E$의 “극점”을 구해보자.

$$
\frac{d}{d\theta} E = 2a\sin\theta \cos \theta - 2b \sin \theta \cos \theta - 2c(\cos^2 \theta - \sin^2 \theta) = 0 \
= (a - b) \sin 2\theta - 2c \cos 2\theta = 0 \
\tan 2 \theta = \frac{2c}{a - b}
$$

즉, 마지막 식이 만족할 때, $E$가 최소 또는 최대가 된다. 그런데, $0 \leq \theta \leq 2\pi$ 범위에서, 방정식의 해는 2개가 되는데, 어떤 $\theta_1$에 대해, $\tan 2 \theta_1 = \tan (2 \theta_1 + \pi)$ 이기 때문이다. 이때, 하나는 최소에 대한 해, 하나는 최대에 대한 해일 것인데, 2차 미분을 통해 어느 점이 최소점인지 찾아야 한다. $E$의 2차 미분은 다음과 같다.

$$
\frac{d^2}{d\theta^2} E = 2(a - b) \cos 2\theta + 4c \sin 2\theta
$$

이 식에 $\theta_1$와 $\theta_1 + \frac{1}{2}\pi$를 넣어보고, 2차미분값이 양의 값인 부분인 $\theta$를 찾으면 된다. 여기까지, 직선의 방정식의 파라미터 $\rho, \theta$를 구한 것이며, 객체의 방향 축을 구하는 과정이었다.

결과적으로, $\theta$는 다음과 같다.

$$
\theta = \frac{1}{2}\arctan\frac{2c}{a - b}
$$

##

Roundness

객체가 얼마나 둥글둥글한지를 측정하는 지표로, 2nd central moment $E$의 최댓값 $E_{\max}$과 최솟값 $E_{\min}$으로 구할 수 있다.

$$
\text{roundness} = \frac{E_{\min}}{E_{\max}}
$$

이 값이 1에 가까우면 객체가 둥글둥글 한 것이고, 0에 가까우면 객체가 길쭉한 타원에 가까운 것이다.